Há duas possibilidades de interpretação:

1. O constituinte «pela madrugada» é um agente da passiva, uma vez que «perdida» é uma oração reduzida de particípio e uma construção passiva elíptica, podendo ser parafraseada como subordinada de «pensei»: «... pensei estar/ser perdida pela madrugada».

2. O constituinte em causa é um modificador adverbial na frase «que pensei perdida pela madrugada», comportando-se como outros adverbiais de tempo introduzidos pela preposição por («pela manhã», «pela tarde»).