Segundo o dicionário Aurélio, o termo vem do italiano, idioma em que assume a forma "bachetta".Significa pequena vara de madeira com que se percutem os tambores.

O dicionário Michaelis dá a mesma origem, mas define-a como "pauzinho, ordinariamente mais grosso numa das extremidades, com o qual se toca tambor ou timbale".

A forma também é aceita por dicionários portugueses como o Complementar da Língua Portuguesa ou o da Porto Editora. Nenhum dos dicionários que consultei regista as formas citadas na pergunta.