Tenho um amigo que, engraçadamente, quando tem dúvidas destas, recorre ao seguinte método: «Perguntamos à maioria como costuma fazer, e depois fazemos diferente.»
Brincadeiras à parte, também neste caso a «maioria das pessoas» que nos refere... está errada. Porquê? Porque se convencionou que as siglas não têm plural. Essa marca tem de ser dada pelos elementos que as antecedem («uma ONG, duas ONG»; «esta ONG é uma das melhores ONG») ou as sucedem («ONG contestam governo»).
A sigla é caracterizada por empregar apenas as iniciais de cada elemento. Portanto, queiramos referir-nos quer a uma organização não governamental, quer a várias organizações não governamentais, as iniciais são sempre as mesmas: ONG. Sei que por vezes pode decorrer daqui alguma ambiguidade (como, por exemplo, no título de imprensa «ONG contra o governo»), mas terá de ser o contexto a desfazê-la.

Há ainda umas quantas questões que a dúvida apresentada pode levantar, mas que não foram abordadas na pergunta. Já agora, falemos delas:

1 – Apesar de a sigla usar maiúsculas nas iniciais, isso não obriga a que tenhamos de utilizá-las no seu desenvolvimento. Uma coisa é a sigla representar um nome próprio, como ONU – Organização das Nações Unidas, outra coisa é a sigla pretender simplificar a escrita de algo mais comprido que não merece maiúsculas, como no exemplo «Angola é um PALOP = «Angola é um país africano de língua oficial portuguesa».
No caso de ONG, são raros os casos em que se justificaria o emprego de maiúsculas no desenvolvimento da sigla.

2 – Reparei na forma como estendeu a sigla ONG: Organizações não Governamentais. Num dos «raros casos em que se justificaria o emprego de maiúsculas no desenvolvimento desta sigla», a que aludo no ponto anterior, esta forma estaria correctíssima, com os substantivos em letra grande, e com o advérbio em minúscula. Imaginemos, por exemplo, o nome de um evento: Congresso Mundial de Organizações não Governamentais. Como sabemos, só os elementos não variáveis da designação não teriam direito à maiúscula inicial (no caso, a preposição de e o advérbio não). De igual modo, quando pretendêssemos siglar essa denominação, só as maiúsculas figurariam na sigla. Quero eu com isto dizer que não é normal que o N de não apareça na sigla ONG, tal como não entram DD na sigla de Academia das Ciências de Lisboa – ACL.
No entanto, convenhamos, não seria fácil reconhecer na sigla OG a expressão «organizações não governamentais».

3 – Também poderia haver dúvida na grafia do desenvolvimento desta sigla a respeito do elemento compositivo não-: «organizações não governamentais» ou «organizações
não-governamentais»? Ainda bem que a dúvida não foi levantada, porque a resposta não seria fácil. Veja-se, nesta resposta anterior, o que diz o Dicionário Houaiss a este respeito.