O verbo desenrascar vem «de des- + enrascar»; enrascar deriva «de en- + rasca + -ar»; e rasca é «deriv[ação] regr[essiva] de rascar». Finalmente, rascar vem «do lat[im] vulg[ar] rasicāre, de rasu-, part[icípio] pass[ado] de radĕre, "raspar"».

Desenrascar significa «desembaraçar (o que estava enrascado)» e, em sentido figurado, «livrar de apuros» ou «resolver rapidamente; remediar»; pronominalmente, é «sair de dificuldades».

[Fonte: Dicionário da Língua Portuguesa 2008, da Porto Editora]