As formas corretas são:

1. «Eu deixei-a fazer o que queria.»

2. «Eu deixei que ela fizesse o que queria.»

O sujeito da oração subordinada substantiva não finita (ou de infinitivo) em 1 (implicitamente, «ela») realiza-se sempre como complemento direto de deixar quando este é o verbo da oração subordinante. Quanto a 2, temos uma oração subordinada substantiva completiva.