De acordo com a generalidade dos dicionários de referência consultados, os três vocábulos estabelecem entre si uma relação de sinonímia:

Exame: «prova destinada a avaliar a aptidão ou os conhecimentos de um aluno ou candidato a algum cargo, função, etc.; teste; prova» (Dicionário Houaiss); 

Teste: «Prova para avaliação do saber ou da inteligência. = EXAME» (Dicionário Priberam); 

Prova: «exame ou concurso; teste» (Infopédia). 

A este propósito, será interessante notar que nos Exames Nacionais dos Ensinos Básico e Secundário, por exemplo, da responsabilidade do Ministério da Educação e Ciência, o que se lê nos enunciados não é «exame», mas, sim, «prova escrita».