Só analisando a formulação do texto que quer submeter, pois dela depende a escolha da tipologia do ato, e só o submetendo no sítio do Diário da República Eletrónico reservado para a publicação dos atos, de modo a poder analisar as respetivas mensagens, poderia dar uma resposta cabal à sua questão

Porém, em termos gerais, um contrato é um acordo escrito estabelecido entre duas ou mais partes para cumprimento de direitos e deveres. Enquanto um despacho é uma decisão escrita sobre um processo. Se o que pretende publicar é um extrato de um contrato, ou seja, um excerto, as partes mais significativas, ou uma síntese do mesmo, esse ato configura um contrato, sob a forma de extrato, mas se, ao contrário, o que pretende publicar é a decisão de alguém, com competência para tal, aprovando a celebração de um contrato, esse ato já é um despacho.

Atualmente, os atos relativos às admissões de pessoal na Administração Pública, apesar de a grande maioria configurar a forma de «contrato de trabalho em funções públicas» – nos termos da Lei n.º 12-A/2008, de 27 de fevereiro, que estabelece os regimes de vinculação, de carreiras e de remunerações dos trabalhadores que exercem funções públicas (LVCR) – são muitas vezes efetuados por despacho (extrato), admito que por um fenómeno de lastro normativo advindo da situação anterior em que a natureza do vínculo era a nomeação. E como esta, que se efetiva por despacho, ainda vigora para alguns grupos profissionais, parece-me existir aqui um fenómeno de contaminação e algum hibridismo. Além do mais, nos procedimentos concursais, que estão na base dessas admissões, há atos que se efetivam por despacho, como, por exemplo, a publicação das listas relativas à apreciação do período experimental, pelo que muitas vezes, por extensão, a publicitação dos contratos acaba também por revestir a forma de despacho.
Acresce ainda o facto de, infelizmente, hoje, o Diário da República Eletrónico, outrora uma publicação referencial, sobretudo na II Série, apresentar diversas contradições no que se refere às tipologias dos atos, à sua formulação, e mesmo em matéria de língua portuguesa. Em matéria de recrutamento de pessoal e para um ato idêntico (a publicitação da celebração de contratos de trabalho em funções públicas), é possível ver, por vezes na mesma página, um despacho, um despacho (extrato) e um aviso. Havendo também, mais raramente, casos de contrato (extrato).
Para finalizar, e no caso do recrutamento de pessoal por contrato, ainda que favorável a que a publicação se faça através de contrato (extrato), como parece decorrer do n.º 2 do artigo 37.º da LVCR, quando acerca da publicação se refere «dos extratos dos atos e contratos consta […]», deixo-lhe, porém, dois exemplos possíveis, numa formulação muito simplificada, do que me parece ser correto para ambos os atos e que poderão ajudar a clarificar as diferenças entre eles.
Contrato (extrato)

Nos termos e para os efeitos previstos no [diploma(s) legal(is) que enquadra(m) juridicamente o ato, geralmente a LVCR], torna-se público que em [data], entre [designação da instituição pública] e [nome do trabalhador contratado], foi celebrado um contrato de trabalho em funções públicas [por tempo indeterminado, a termo resolutivo, certo ou incerto], com efeitos a [data da celebração do contrato], ficando este trabalhador integrado na categoria […] da carreira […], com a remuneração correspondente ao índice […] da tabela remuneratória […]. (Isento de visto do Tribunal de Contas). [Data] – [Cargo e nome do titular do mesmo com competência para celebrar o contrato]
Despacho (extrato)

Por despacho de [data] do [cargo e nome do titular com competência para celebrar o contrato], e nos termos do [diploma(s) legal(is) que enquadra(m) juridicamente o ato, geralmente a LVCR], torna-se público que foi autorizada a celebração de contrato de trabalho em funções públicas [por tempo indeterminado, a termo resolutivo, certo ou incerto], entre [designação da instituição pública] e [nome do trabalhador contratado], com efeitos a [data da celebração do contrato], ficando este trabalhador integrado na categoria […] da carreira […], com a remuneração correspondente ao índice […] da tabela remuneratória […]. (Isento de visto do Tribunal de Contas).

[Data] – [Cargo e nome do titular do mesmo com competência para a realização do despacho]